बीजगणित क्या है? »इसकी परिभाषा और अर्थ

बीजगणित एक है गणित की वह शाखा है का उपयोग करता है संख्या, अक्षर और संकेत विभिन्न अंकगणितीय आपरेशनों प्रदर्शन का उल्लेख करने के। आज एक गणितीय संसाधन के रूप में बीजगणित का उपयोग रिश्तों, संरचनाओं और मात्रा में किया जाता है। प्राथमिक बीजगणित सबसे आम है क्योंकि यह एक है जो अंकगणित के अलावा इसके अलावा, घटाव, गुणन और विभाजन जैसे अंकगणितीय संचालन का उपयोग करता है, यह संख्याओं का उपयोग करने के बजाय xy जैसे प्रतीकों का सबसे आम उपयोग करता है।

बीजगणित क्या है

विषय - सूची

यह गणित से संबंधित शाखा है, जो अक्षरों, प्रतीकों और संख्याओं के माध्यम से अंकगणितीय समस्याओं को विकसित करने और हल करने की अनुमति देता है, जो बदले में वस्तुओं, विषयों या तत्वों के समूहों का प्रतीक है। यह उन ऑपरेशनों को बनाने की अनुमति देता है जिनमें अज्ञात संख्याएं होती हैं, जिन्हें अज्ञात कहा जाता है और जो समीकरणों के विकास को संभव बनाता है।

बीजगणित के माध्यम से, मनुष्य एक जटिल और सामान्य तरीके से गणना करने में सक्षम रहा है, लेकिन अधिक जटिल गणनाओं के माध्यम से, गणितीय और भौतिक बौद्धिकों जैसे सर आइजैक न्यूटन (1643-1727), लियोनहार्ड यूलर (1707-) द्वारा विकसित किया गया है। 1783), पियरे डी फ़र्मेट (1607-1665) या कार्ल फ्रेडरिक गॉस (1777-1855), जिनके योगदान के कारण हमारे पास बीजगणित की परिभाषा है क्योंकि यह आज भी ज्ञात है।

हालांकि, बीजगणित के इतिहास के अनुसार, अलेक्जेंड्रिया के डायोफैंटस (जन्म और मृत्यु की तारीख अज्ञात, माना जाता है कि तीसरी और चौथी शताब्दी के बीच रहते थे), वास्तव में इस शाखा के पिता थे, क्योंकि उन्होंने एरीथेमेटिका नामक एक काम प्रकाशित किया था, जो इसमें तेरह पुस्तकें शामिल थीं और जिसमें उन्होंने समीकरणों के साथ समस्याएं पेश कीं, हालांकि वे एक सैद्धांतिक चरित्र के अनुरूप नहीं थे, सामान्य समाधान के लिए पर्याप्त थे। इसने यह परिभाषित करने में मदद की कि बीजगणित क्या है, और इसके द्वारा किए गए कई योगदानों के बीच, यह समस्या को हल करने के चर के भीतर एक अज्ञात के प्रतिनिधित्व के लिए सार्वभौमिक प्रतीकों का कार्यान्वयन था।

शब्द "बीजगणित" अरबी से आता है और इसका अर्थ है "पुनर्स्थापना" या "मान्यता"। उसी तरह लैटिन में इसका अर्थ है, जो "कमी" से मेल खाता है, और, हालांकि वे समान शब्द नहीं हैं, उनका मतलब एक ही है।

इस शाखा के अध्ययन के लिए एक अतिरिक्त उपकरण के रूप में, आपके पास बीजीय कैलकुलेटर हो सकता है, जो कैलकुलेटर हैं जो बीजीय कार्यों को रेखांकन कर सकते हैं। इस तरह से अनुमति देना, अभिव्यक्तियों को एकीकृत करना, व्युत्पन्न करना, सरल बनाना और ग्राफ़ फ़ंक्शंस, मैट्रिसेस बनाना, समीकरणों को हल करना, अन्य कार्यों के बीच, हालांकि यह उपकरण उच्च स्तर के लिए अधिक उपयुक्त है।

बीजगणित के भीतर बीजगणितीय शब्द है, जो कम से कम एक अक्षर चर के संख्यात्मक कारक का उत्पाद है; जिसमें प्रत्येक शब्द को उसके संख्यात्मक गुणांक द्वारा विभेदित किया जा सकता है, उसके चर अक्षरों द्वारा दर्शाए गए हैं और शाब्दिक तत्वों के घातांक जोड़कर शब्द की डिग्री। इसका मतलब यह है कि बीजगणितीय शब्द p5qr2 के लिए, गुणांक 1 होगा, इसका शाब्दिक भाग p5qr2 होगा, और इसकी डिग्री 5 + 1 + 2 = 8 होगी।

एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति क्या है

यह पूर्णांक स्थिरांक, चर और बीजगणितीय संचालन से बना एक अभिव्यक्ति है। एक बीजीय अभिव्यक्ति संकेतों या प्रतीकों से बना है और अन्य विशिष्ट तत्वों से बना है।

प्राथमिक बीजगणित में, साथ ही अंकगणित में, बीजीय संचालन जो समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है वे हैं: इसके अलावा या इसके अलावा, घटाव या घटाव, गुणा, भाग, सशक्तिकरण (एक गुणन का गुणन) समय) और रेडिएशन (पोटेंशिएशन का उलटा ऑपरेशन)।

इन परिचालनों में प्रयुक्त संकेत वही होते हैं जो अंकगणित (+) और घटाव (-) के लिए प्रयुक्त होते हैं, लेकिन गुणन के लिए x (x) को एक बिंदु (।) से बदल दिया जाता है या उन्हें समूहन चिह्नों से दर्शाया जा सकता है । उदाहरण: cd और (c) (d) तत्व "c" के समान हैं जो "d" या cxd तत्व से गुणा होता है और बीजीय मंडल में दो बिंदुओं (:) का उपयोग किया जाता है ।

समूहन संकेत का भी उपयोग किया जाता है, जैसे कि कोष्ठक (), वर्ग कोष्ठक, ब्रेस {}, और क्षैतिज पट्टियाँ। संबंध संकेतों का भी उपयोग किया जाता है, जिनका उपयोग यह इंगित करने के लिए किया जाता है कि दो डेटा के बीच एक संबंध है, और सबसे अधिक इस्तेमाल होने वाले (=) के बराबर (>) और (<) से कम है ।

इसके अलावा, उन्हें वास्तविक संख्याओं (तर्कसंगत, जिसमें सकारात्मक, नकारात्मक और शून्य; और अपरिमेय शामिल हैं, जो कि भिन्न के रूप में प्रस्तुत नहीं किए जा सकते हैं) या जटिल, जो वास्तविक का एक हिस्सा है, एक बीजीय रूप से बंद क्षेत्र का निर्माण करके उपयोग किए जाते हैं। ।

ये मुख्य बीजीय भाव हैं

ऐसे भाव हैं जो बीजगणित की अवधारणा का हिस्सा हैं, इन अभिव्यक्तियों को दो प्रकारों में वर्गीकृत किया गया है: मोनोमियल, जो कि एक एकल परिशिष्ट है; और बहुपद, जिसमें दो (द्विपद), तीन (ट्रिनोमिअल्स) या अधिक जोड़ होते हैं।

मोनोमियल के कुछ उदाहरण होंगे: 3x, ials

जबकि कुछ बहुपद हो सकते हैं: 4 × 2 + 2x (द्विपद); 7ab + 3a3 (ट्रिनोमियल)

यह उल्लेख करना महत्वपूर्ण है कि यदि चर (इस मामले में "x") हर में या एक जड़ के भीतर है, तो भाव मोनोमियल या बहुपद नहीं होंगे।

रैखिक बीजगणित क्या है

गणित और बीजगणित का यह क्षेत्र वह है जो वैक्टर, मैट्रिक्स, रैखिक समीकरणों की प्रणाली, वेक्टर रिक्त स्थान, रैखिक परिवर्तन और मैट्रिक्स की अवधारणाओं का अध्ययन करता है। जैसा कि देखा जा सकता है, रैखिक बीजगणित में विभिन्न अनुप्रयोग हैं।

इसकी उपयोगिता कार्यों के स्थान के अध्ययन से भिन्न होती है, जो कि एक सेट एक्स (क्षैतिज) द्वारा एक सेट वाई (ऊर्ध्वाधर) से परिभाषित होती हैं और वेक्टर या टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान पर लागू होती हैं; अंतर समीकरण, जो एक फ़ंक्शन (मान जो दूसरे मान पर निर्भर करता है) उसके डेरिवेटिव के साथ संबंधित है (परिवर्तन की तात्कालिक दर जो किसी दिए गए फ़ंक्शन के मूल्य को बदलती है); संचालन अनुसंधान, जो ध्वनि निर्णय लेने के लिए उन्नत विश्लेषणात्मक तरीकों को लागू करता है; इंजीनियरिंग करने के लिए ।

रैखिक बीजगणित के अध्ययन के मुख्य अक्षों में से एक वेक्टर रिक्त स्थान में पाया जाता है, जो वैक्टर के एक सेट (एक लाइन के खंड) और स्केलर (वास्तविक, निरंतर या जटिल संख्याओं) का एक सेट से बना होता है, जिसमें परिमाण होता है, लेकिन नहीं दिशा वेक्टर विशेषता)।

मुख्य परिमित आयामी वेक्टर रिक्त स्थान तीन हैं:

• आर एन में वैक्टर, जो कार्तीय निर्देशांक (क्षैतिज एक्स अक्ष और ऊर्ध्वाधर Y अक्ष) का प्रतिनिधित्व करते हैं।
• मैट्रिक्स, जो आयताकार सिस्टम भाव (संख्याएं या प्रतीक द्वारा प्रतिनिधित्व) कर रहे हैं, पंक्तियों की एक संख्या (आमतौर पर पत्र "एम" द्वारा प्रतिनिधित्व) और स्तंभों की एक संख्या (पत्र "n" से चिह्नित) की विशेषता है, और उनका उपयोग विज्ञान और इंजीनियरिंग में किया जाता है।
• बहुपद के वेक्टर अंतरिक्ष में एक ही चर में, बहुआयामी पद नहीं है कि डिग्री 2 से अधिक वास्तविक गुणांकों है और चर "x" पर पाए जाते हैं द्वारा दिए गए।

बीजगणितीय कार्य

यह एक फ़ंक्शन को संदर्भित करता है जो एक बीजीय अभिव्यक्ति से मेल खाता है, जबकि यह एक बहुपद समीकरण को भी संतुष्ट करता है (इसके गुणांक मोनोमियल या बहुपद हो सकते हैं)। उन्हें इस प्रकार वर्गीकृत किया गया है: तर्कसंगत, तर्कहीन और निरपेक्ष मूल्य।

• पूर्णांक तर्कसंगत कार्य उन में व्यक्त किए गए हैं: जहां "P" और "Q" दो बहुपद का प्रतिनिधित्व करते हैं और "x" चर का, जहां "Q" शून्य बहुपद से अलग है, और चर "x" हर को रद्द नहीं करता है ।
• अपरिमेय कार्य, जिसमें अभिव्यक्ति f (x) एक कट्टरपंथी का प्रतिनिधित्व करता है, जैसे:। यदि "n" का मान सम है, तो रेडिकल को परिभाषित किया जाएगा ताकि g (x) 0 से अधिक और बराबर हो, और परिणाम का संकेत भी इंगित किया जाना चाहिए, क्योंकि इसके बिना, किसी फ़ंक्शन के बारे में बात करना संभव नहीं होगा, क्योंकि "x" के प्रत्येक मूल्य के लिए दो परिणाम होंगे; जबकि यदि मूलक का सूचकांक विषम है, तो उत्तरार्द्ध आवश्यक नहीं है, क्योंकि परिणाम अद्वितीय होगा।
• निरपेक्ष मान फ़ंक्शंस, जहाँ एक वास्तविक संख्या का निरपेक्ष मान इसका सांकेतिक मान होता है जो अपना चिन्ह छोड़ देता है। उदाहरण के लिए, 5 5 और -5 दोनों का निरपेक्ष मान होगा।

कर रहे हैं स्पष्ट बीजीय कार्यों, जिसमें अपनी चर "y" चर "x" समय की एक सीमित संख्या के संयोजन का परिणाम हो जाएगा, बीजीय संचालन का उपयोग कर (उदाहरण के लिए, बीजीय अलावा) है, जो ऊंचाई में शामिल शक्तियों और जड़ों की निकासी के लिए; इसका अनुवाद y = f (x) में होगा। इस प्रकार के बीजीय कार्य का एक उदाहरण निम्नलिखित हो सकता है: y = 3x + 2 या क्या समान होगा: (x) = 3x + 2, क्योंकि "y" केवल "x" के रूप में व्यक्त किया गया है ।

दूसरी ओर, निहितार्थ हैं, वे हैं जिनमें चर "y" केवल चर "x" के कार्य के रूप में व्यक्त नहीं किया गया है, इसलिए y (f (x) । इस प्रकार के फ़ंक्शन के एक उदाहरण के रूप में, हमारे पास: y = 5x3y-2 है

बीजीय कार्यों के उदाहरण

बीजीय कार्यों के कम से कम 30 प्रकार हैं, लेकिन सबसे प्रमुख में, निम्नलिखित उदाहरण हैं:

1. स्पष्ट कार्य: ƒ () = पाप

2. निहित कार्य: yx = 9 × 3 + x-5

3. बहुपद समारोह:

a) लगातार: ƒ () = 6

बी) पहली डिग्री या रैखिक: ƒ () = ३ + ४

c) दूसरी डिग्री या द्विघात: ƒ () = 2 + 2 + 1 या (+1) 2

d) थर्ड डिग्री या क्यूबिक: ƒ () = 2 3 + 4 2 + 3 +9

4. तर्कसंगत कार्य: ƒ

5. संभावित कार्य: ƒ () = - 1

6. रेडिकल फ़ंक्शन: ƒ () =

7. वर्गों द्वारा कार्य: ƒ () = यदि 0 ƒ ƒ 5

बाल्ड बीजगणित क्या है

जब बाल्डोर बीजगणित के बारे में बात की जाती है, तो यह गणितज्ञ, प्रोफेसर, लेखक और वकील ऑरेलियो बाल्डोर (1906-1978) द्वारा विकसित एक कार्य को संदर्भित करता है, जो 1941 में प्रकाशित हुआ था। प्रोफेसर के प्रकाशन में, कौन हवाना, क्यूबा में पैदा हुआ था, 5,790 अभ्यासों की समीक्षा की गई, प्रति परीक्षण औसतन 19 अभ्यासों के बराबर।

बाल्डोर ने अन्य कार्यों, जैसे "प्लेन एंड स्पेस ज्योमेट्री", "बाल्डोर ट्रिगोनोमेट्री" और "बाल्डोर अरिथमेटिक" को प्रकाशित किया, लेकिन इस शाखा के क्षेत्र में सबसे अधिक प्रभाव "बाल्ड बीजगणित" का रहा है।

यह सामग्री, हालांकि, मध्यवर्ती शैक्षिक स्तर (जैसे हाई स्कूल) के लिए अधिक अनुशंसित है, क्योंकि उच्च स्तर (विश्वविद्यालय) के लिए यह शायद ही उस स्तर के अनुसार अन्य अधिक उन्नत ग्रंथों के पूरक के रूप में काम करेगा।

फ़ारसी मुस्लिम गणितज्ञ, खगोलशास्त्री और भूगोलवेत्ता अल-जररिस्मि (780-846) के प्रसिद्ध आवरण ने उन छात्रों में भ्रम का प्रतिनिधित्व किया है जिन्होंने इस प्रसिद्ध गणितीय उपकरण का उपयोग किया है, क्योंकि यह माना जाता है कि यह चरित्र इस बारे में है इसके लेखक बाल्डोर हैं।

काम की सामग्री को 39 अध्यायों और एक परिशिष्ट में विभाजित किया गया है, जिसमें गणना की तालिकाएं, कारक विघटन के मूल रूपों की एक तालिका और जड़ों और शक्तियों की तालिकाएं हैं; और पाठ के अंत में अभ्यास के उत्तर हैं।

प्रत्येक अध्याय की शुरुआत में एक दृष्टांत होता है जो उस अवधारणा की एक ऐतिहासिक समीक्षा को दर्शाता है जिसे नीचे विकसित और समझाया जाएगा, और क्षेत्र में प्रमुख ऐतिहासिक आंकड़ों का उल्लेख करता है, ऐतिहासिक संदर्भ के अनुसार जिसमें अवधारणा का संदर्भ स्थित है। ये पात्र पाइथागोरस, आर्किमिडीज, प्लेटो, डायोफैंटस, हाइपेटिया और यूक्लिड से लेकर रेने डेसकार्टेस, आइजैक न्यूटन, लियोनार्डो यूलर, ब्लास पास्कल, पियरे-साइमन लाप्लास, जोहान कार्ल फ्रेडरिक गॉस, मैक्स प्लैंक और अल्बर्ट आइंस्टीन तक हैं।

इस पुस्तक की प्रसिद्धि किस वजह से थी?

इसकी सफलता इस तथ्य में निहित है कि यह लैटिन अमेरिकी उच्च विद्यालयों में एक प्रसिद्ध अनिवार्य साहित्यिक कृति होने के अलावा, इस विषय पर सबसे परामर्शित और पूर्ण पुस्तक है, क्योंकि इसमें अवधारणाओं और उनके बीजीय समीकरणों की स्पष्ट व्याख्या है, साथ ही साथ पहलुओं पर ऐतिहासिक डेटा भी है। अध्ययन करने के लिए, जिसमें बीजीय भाषा को संभाला जाता है।

यह पुस्तक छात्रों के लिए बीजगणितीय दुनिया में दीक्षा सम उत्कृष्टता है, भले ही कुछ के लिए यह अध्ययन के लिए प्रेरणा का स्रोत है और दूसरों के लिए यह आशंका है, सच्चाई यह है कि कवर किए गए विषयों की बेहतर समझ के लिए यह एक अनिवार्य और आदर्श ग्रंथ सूची है। ।

बूलियन बीजगणित क्या है

अंग्रेजी गणितज्ञ जॉर्ज बोले (1815-1864) ने बीजीय कार्यों को करने के लिए कानूनों और नियमों का एक समूह बनाया, इस बिंदु पर कि इसका एक हिस्सा इसका नाम दिया गया था। इस कारण से, अंग्रेजी गणितज्ञ और तर्कशास्त्री को कंप्यूटर विज्ञान के अग्रदूतों में से एक माना जाता है ।

तार्किक और दार्शनिक समस्याओं में, बोओल ने जिन कानूनों को विकसित किया, उन्हें दो राज्यों में सरल बनाने की अनुमति दी, जो कि सच्ची स्थिति या झूठी स्थिति है, और ये निष्कर्ष गणितीय तरीके से पहुंचे थे। कुछ कार्यान्वित नियंत्रण प्रणाली, जैसे कि संपर्ककर्ता और रिले, खुले और बंद घटकों का उपयोग करते हैं, खुले वाला वह होता है जो आचरण करता है और बंद किया जाने वाला एक ऐसा नहीं होता है। यह बूलियन बीजगणित में सभी या कुछ भी नहीं के रूप में जाना जाता है।

ऐसे राज्यों में 1 और 0 का संख्यात्मक प्रतिनिधित्व है, जहां 1 सच और 0 का प्रतिनिधित्व करता है, जो उनके अध्ययन को आसान बनाता है। इन सभी के अनुसार, सभी प्रकार के या किसी भी घटक को किसी तार्किक चर द्वारा दर्शाया नहीं जा सकता है, जिसका अर्थ है कि इसका मान 1 या 0 हो सकता है, इन अभ्यावेदन को बाइनरी कोड के रूप में जाना जाता है।

बूलियन बीजगणित डिजिटल सर्किट के भीतर लॉजिक सर्किट या लॉजिक स्विचिंग को सरल बनाना संभव बनाता है; इसके माध्यम से, सर्किटों की गणना और तर्क संचालन अधिक एक्सप्रेस तरीके से किए जा सकते हैं।

बूलियन बीजगणित में तीन मौलिक प्रक्रियाएं होती हैं, जो हैं: तार्किक उत्पाद, AND गेट या चौराहा कार्य; तार्किक राशि, या गेट, या यूनियन फ़ंक्शन; और तार्किक निषेध, गेट या पूरक कार्य नहीं। कई सहायक कार्य भी हैं: तार्किक उत्पाद नकार, नंद द्वार; तार्किक योग, NOR गेट की उपेक्षा; अनन्य तर्क राशि, XOR गेट; और एक्सक्लूसिव तार्किक योग, गेट XNOR की उपेक्षा।

बूलियन बीजगणित के भीतर, कई कानून हैं, जिनमें से हैं:

• रद्द करने का कानून । रद्दीकरण कानून भी कहा जाता है, यह कहता है कि एक प्रक्रिया के बाद कुछ अभ्यास में, स्वतंत्र शब्द को रद्द कर दिया जाएगा, ताकि (एबी) + ए = ए और (ए + बी)। ए = ए।
• पहचान कानून । या तत्वों 0 और 1 की पहचान से, यह स्थापित करता है कि एक चर जिसमें शून्य तत्व या 0 जोड़ा गया है, उसी चर A + 0 = A के समान होगा जैसे कि चर 1 से गुणा किया जाता है, परिणाम वही A.1 = a है ।
• बेरोजगार कानून । कहा गया है कि किसी विशेष क्रिया को कई बार और एक ही परिणाम के रूप में किया जा सकता है, ताकि, यदि आपके पास A + A = A का संयोजन हो और यदि यह एक विच्छेदक AA = A हो ।
• विधि संबंधी कानून । इसका मतलब है कि कोई जिस क्रम में चर रहे हैं कोई फर्क है, तो ए + बी = बी + एक ।
• दोहरा निषेध कानून । हे इंवोल्यूशन, कहता है कि यदि एक इनकार को दूसरे इनकार को सकारात्मक परिणाम दिया जाता है, तो वह (ए ') = ए ।
• मॉर्गन की प्रमेय । ये कहते हैं कि सामान्य रूप से कुछ नकारात्मक चर की राशि प्रत्येक नकारात्मक चर के उत्पाद के बराबर होगी, इसलिए (A + B) '= A'B' और (AB) '= A' + B ' ।
• वितरण संबंधी कानून । यह स्थापित करता है कि जब कुछ चर शामिल होते हैं, जो किसी अन्य बाहरी चर से गुणा किया जाएगा, तो यह बाहरी चर द्वारा वर्गीकृत प्रत्येक चर को गुणा करने के समान होगा, इस प्रकार है: ए (बी + सी) = एबी + एसी ।
• अवशोषण कानून । यह कहता है कि यदि एक चर A का अर्थ चर B है, तो चर A का अर्थ A और B होगा, और A, B द्वारा "अवशोषित" होगा।
• सहयोगी कानून । अव्यवस्था में या कई चर में शामिल होने पर, परिणाम उनके समूहन की परवाह किए बिना समान होगा; इतना है कि इसके अलावा A + (B + C) = (A + B) + C (पहला तत्व प्लस अंतिम दो के जुड़ाव के बराबर है, पहले दो प्लस पिछले के जुड़ाव के बराबर है)।